Conceptos matemáticos relacionados con un estudio estadístico

En un análisis estadístico, los conceptos matemáticos son esenciales porque proporcionan las herramientas necesarias para estructurar los datos de manera coherente, permitiendo tomar decisiones informadas de manera sistemática y objetiva. 

• Tabla de frecuencias: Es una herramienta estadística que permite organizar un conjunto de datos al agruparlos en categorías o intervalos. La tabla muestra cada valor o intervalo y el número de veces que aparece en el conjunto de datos, lo cual facilita observar la distribución y frecuencia de los valores e incluye los siguientes conceptos matemáticos:

1. Frecuencia absoluta (fi): Representa la cantidad de veces que se repite un valor o una clase.
2. Frecuencia relativa (fri): Indica la proporción de ocurrencias de un valor o clase ya sea en decimal o porcentaje, calculada como $f_{r\mathrm{i }}=\; fi/n$, donde n es el total de datos existentes.
3. Frecuencia acumulada (Fi): Es la suma de las frecuencias absolutas hasta un determinado valor o clase.
4. Frecuencia relativa acumulada (Fri): Es la suma de las frecuencias relativas hasta un valor o clase específico.
5. Punto medio (mi) es el valor central de un intervalo, calculado como el promedio entre su límite inferior y su límite superior.

a. Representación de una tabla de frecuencias para datos agrupados.

• Gráficos estadísticos: Son representaciones visuales que facilitan el análisis y comprensión de datos, permitiendo identificar patrones y tendencias. Entre los gráficos más comunes se encuentran: 

1. Histograma: Representa la frecuencia de los datos distribuidos en intervalos.
2. Diagrama de barras: Utilizado para mostrar datos categóricos, donde la altura de cada barra refleja su frecuencia.
3. Polígono de frecuencias: Conecta los puntos medios de los intervalos de un histograma mediante líneas.
4. Diagrama de caja y bigotes: Exhibe la dispersión de los datos, destacando los cuartiles y posibles valores atípicos.

b. Tipos de gráficos estadísticos.

• Medidas de centralización: Estas medidas resumen la posición central de un conjunto de datos. Incluyen:

• Media: Es el promedio de todos los valores y refleja el valor típico del conjunto.
• Mediana: Es el valor central de los datos ordenados y es menos sensible a valores extremos.
• Moda: Es el valor que se presenta con mayor frecuencia y es útil en distribuciones con múltiples picos.

c. Medidas de tendencia central para datos individuales.

• Medidas de dispersión: Indican la variabilidad de los datos respecto a la media. Entre las principales medidas están:

• Rango: Es la diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto, mostrando la extensión total de los datos.
• Varianza: Es la media de las desviaciones cuadradas respecto a la media y cuantifica la dispersión general de los datos.
• Desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza y expresa la dispersión en las mismas unidades de los datos originales.

d. Representación de las fórmulas de las medidas de dispersión.

• Medidas de posición: Dividen el conjunto de datos en partes para indicar la posición relativa de los valores. Incluyen:

• Cuartiles: Dividen los datos en cuatro partes iguales (Q1, Q2 o mediana, y Q3).
• Deciles: Dividen los datos en diez partes.
• Percentiles: Dividen los datos en cien partes, siendo útiles para comparaciones relativas entre distintos conjuntos de datos.

e. Representación gráfica de las medidas de posición.

• Medidas de forma: Describen la forma de la distribución de los datos, en términos de simetría y achatamiento:

• Asimetría: Mide el grado de simetría de la distribución. Una distribución simétrica tiene una asimetría cercana a cero, mientras que una positiva o negativa indica una inclinación hacia la derecha o izquierda, respectivamente.
• Curtosis: Mide el grado de concentración de los valores en torno a la media. Distribuciones con curtosis elevada tienen picos más pronunciados (leptocúrticas), con curtosis mediana los picos son normales(mesocúrtica), mientras que aquellas con baja curtosis son más planas (platicúrticas).

f. Representación gráfica de las medidas de forma.

Bibliografía: 

R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers, y K. Ye, Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias, 9.a ed. México: Pearson, 2012. ISBN: 978-607-32-1417-9.